像在逻辑中一样，准确性的对偶是完备性。在第12.3节中，我们将程序 P 的分析的soundness定义为性质 $\alpha(\{[P]\}) \sqsubseteq [[P]]$。因此，自然而然地，我们可以定义分析对于 P 是complete的，如果满足以下性质：

$$ [\![P]\!] \sqsubseteq \alpha(\{\![P]\!\}) $$

一个分析是complete，那么就是对于所有的程序都是complete。如果一个分析同时满足sound和complete，那么就是 $[\![P]\!] = \alpha(\{\![P]\!\})$。（也就是说，具体执行的结果进行抽象，和抽象的结果一致）

    在第12.4节中，我们研究了抽象的最优性概念，这是由于希望定义分析约束尽可能精确，相对于所选择的分析格。类似地，我们可以问，对于程序 P，使用当前的分析格，分析结果 [[P]] 是否尽可能精确？更正式地说，问题是$[\\![P]\\!] = \\alpha(\\{\\![P]\\!\\})$是否成立；换句话说，这个性质与分析对于 P 是准确且完备的相一致。

    很多时候，即使我们得到抽象域上求解的最佳抽象的定义（比如符号分析的eval函数），分析也不会是对所有程序都满足sound和complete，例如如下例子：

x = input; // x = T
y = x; // x = T, y = T
z = x - y; // x = T, y = T, z = 0（sound 那么就需要是T）

令 $\sigma$ 表示语句y=x之后的抽象状态，那么我们有：$\sigma(x) = \sigma(y) = \top$。 对于单个语句 z = x - y 语义的任何准确的抽象都将导致一个将 z 映射到 T 的抽象状态，但答案 0 将在最终程序点的分析结果中更为精确且仍然准确。直观地说，分析不知道 x 和 y 之间的关联。

我们来想想为什么x和y之间的关联无法获得？ 因为我们用的是基于lattice理论的dataflow分析技术。在Sign这个lattice里面，我们是没有维护等价关系的！那么为什么我们不设计一个更好的lattice呢？其实可以，我们可以再引入一个lattice表示两个变量是否相等。那么程序的格就是两个子抽象域的组合。那么分析的复杂度就更高了！

    对于这个特定的示例程序，原则上我们可以通过改变约束生成规则来提高分析的精度，以识别由语句 y = x 后跟 z = x - y 组成的特殊模式。与采用这样的临时方法以获得精度不同，通常更可行的解决方案是关系分析（参见第7章的relational analysis）。

    在12.3节中，我们知道，soundness的定义有两种  $\\alpha(\\{\\![P]\\!\\}) \\sqsubseteq [\\![P]\\!]$ 或者 $\\{\\![P]\\!\\} \\sqsubseteq \\gamma([\\![P]\\!])$。但是对于completeness属性，我们只能用 $[\\![P]\\!] \\sqsubseteq \\alpha(\\{\\![P]\\!\\})$。

这里面为什么只能在抽象里面分析？因为在抽象里面，大一定大！但是反过来抽象的值，经过具体化会非常多！这些多的内容并不一定 小于或者等于 具体域。比如x=5，y=0，z=x+y。我们可以知道[[P]]是+，{[P]}是{5}。那么对于抽象比较的soundeness：{5}的抽象化是+，所以 $\alpha(\{\![P]\!\}) \sqsubseteq [\![P]\!]$ 满足；+的具体化是{1,2,3,4,…}，所以 $\{\![P]\!\} \sqsubseteq \gamma([\![P]\!])$满足。但是对于completeness，{5}的抽象化是+，所以 $[\![P]\!] \sqsubseteq \alpha(\{\![P]\!\})$满足，但是在具体化上，+的具体化是{1,2,3,4,…} 并不是 {5}的子集，那么 $\gamma([\![P]\!]) \sqsubseteq \{\![P]\!\}$ 并不满足。

因此， $\{\![P]\!\} = \gamma([\![P]\!])$是比 $[\![P]\!] = \alpha(\{\![P]\!\})$要严格多的条件。也就是说 $\{\![P]\!\} = \gamma([\![P]\!])$成立，那么分析捕获了程序P的执行语义，并且没有多余的近似，也就是说分析对于程序P是严格精确的（exact）。因为针对于所有程序，一个非平凡的分析一定会有因为抽象而带来的信息损失，因此任何有意义的分析都不能满足exact属性。

这里我们延伸一些，在缺陷检测里面，sound表示没有漏报！为什么呢，就看sound的概念，是说在抽象里面，分析的结果一定比真实情况大，所以这就是没有漏报！而complete就是说没有误报，其含义就是这个分析的结果与真实执行还小，所以就是报出来的都是真实的bug的子集合，所以就是没有误报！

    在建立了分析完备性的概念（以及一个较不重要的分析精确性概念）之后，我们通过定义在分析中使用的个别抽象的完备性概念，来了解不准确性可能出现的地方。同之前的章节一致，我们做如下定义：假设L1和L1‘是收集语义的格，L2和L2’是用于分析的格。令 $\\alpha: L_1 \\rightarrow L_2$ 和 $\\alpha': L_1 \\rightarrow L_2'$表示抽象函数， $\\gamma: L_2 \\rightarrow L_1$ 和   $\\gamma': L_2' \\rightarrow L_1'$ 表示具体函数，并且这四个函数形成两个Galois连接。考虑两个单调函数$cg: L_1 \\rightarrow L_1'$ 和 $ag: L_2 \\rightarrow L_2'$。我们说ag函数是cg的一个complete的抽象，如果下述条件满足：

$$ ag ~\circ~\alpha \sqsubseteq \alpha'~\circ~cg $$

让我们看符号分析，在12.4节，我们知道如下乘法的定义是最优解：

事实上，这个定义也满足complete：（简单说就是在具体域里面，分开依次相乘已经枚举了所有的情况。而且相乘不会出现新的情况，比如+-相乘就是-，但是相加则要范围变大）

这个结果可以告诉我们，在乘法运算上，不会丢失任何的精度。